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Fonction W de Lambert vs méthodes itératives

Comparaison chiffrée

Objectif

La fonction W de Lambert permet de résoudre directement, sans itération, l’équation de dimensionnement de l’isolation thermique des tuyauteries.

Il s’agit de reprendre l’exemple officiel de la page Épaisseurs sur tuyauteries (exigence de température de surface) pour illustrer, sur ce cas de référence, l’écart de méthode entre la résolution directe par la fonction W de Lambert et les méthodes itératives classiques (Newton-Raphson, dichotomie), en nombre d’itérations et en robustesse.

Cas de référence

Tuyauterie DN 100 d’une installation industrielle chaude, à l’intérieur d’un bâtiment, isolée avec des coquilles de laine minérale. Exigence de protection du personnel.

Paramètre

Symbole

Valeur

Diamètre extérieur de la tuyauterie

DiD_i

0,114 m

Température du fluide

θf\theta_f

300 °C

Température ambiante

θa\theta_a

20 °C

Température de surface admissible

θse\theta_{se}

55 °C

Conductivité moyenne de l’isolant

λD\lambda_D

0,062 W·m⁻¹·K⁻¹

Coefficient d’échange superficiel

hseh_{se}

8 W·m⁻²·K⁻¹

Mise en équation

Reprise de la démonstration de la page Épaisseurs sur tuyauteries : l’égalité des résistances linéiques \(R_{l,ins}\) et \(R_{l,se}\) conduit, avec \(D_e\) comme inconnue, à l’équation transcendante :

De⋅ln⁡(DeDi)−b=0⟺x⋅ln⁡(a⋅x)−b=0D_e \cdot \ln\left(\frac{D_e}{D_i}\right) – b = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \cdot \ln(a \cdot x) – b = 0
avec :{x=De=Di+2da=1Dib=θf−θseθse−θa⋅2λDhse\text{avec :} \begin{cases} x = D_e = D_i + 2d \\[4pt] a = \dfrac{1}{D_i} \\[6pt] b = \dfrac{\theta_f – \theta_{se}}{\theta_{se} – \theta_a} \cdot \dfrac{2 \lambda_D}{h_{se}} \end{cases}

dont la solution générale (page Résolution d’équations) est :

x=bW(a·b)x = \dfrac{b}{\mathrm{W}(a·b)}

Application numérique (identique à l’exemple du site) :

a=10,114=8,772 m−1a = \dfrac{1}{0{,}114} = 8{,}772 \ \text{m}^{-1}
b=[300−5555−20]⋅2×0,0628=7×0,0155=0,1085 mb = \left[\dfrac{300 – 55}{55 – 20}\right] \cdot \dfrac{2 \times 0{,}062}{8} = 7 \times 0{,}0155 = 0{,}1085 \ \text{m}
a⋅b=0,9518a \cdot b = 0{,}9518

Résolution par la fonction W de Lambert (solution directe)

De=bW(a⋅b)D_e = \dfrac{b}{\mathrm{W}(a \cdot b)}
W(0,9518)=0,5494\mathrm{W}(0{,}9518) = 0{,}5494
De=0,10850,5494=𝟎,𝟏𝟗𝟕𝟒𝟖 mD_e = \dfrac{0{,}1085}{0{,}5494} = \mathbf{0{,}19748} \ \text{m}
d=De−Di2=0,0417 m=𝟒𝟏,𝟕 mmd = \dfrac{D_e – D_i}{2} = 0{,}0417 \ \text{m} = \mathbf{41{,}7} \ \text{mm}

Aucune itération n’est nécessaire : résultat obtenu en une seule évaluation de la fonction W (scipy.special.lambertw, MATLAB, Mathematica, ou calculateur en ligne)

Résolution par méthode itérative classique (Newton-Raphson)

Même équation, résolue par :

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n – \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}

avec

f(De)=De⋅ln⁡(a⋅De)−bf(D_e) = D_e \cdot \ln(a \cdot D_e) – b

Avec une valeur initiale raisonnable :

De,0=Di⋅(1+a⋅b)=222,5 mmD_{e,0} = D_i \cdot (1 + a \cdot b) = 222{,}5 \ \text{mm}
Itération\(D_e\) (mm)Résidu
0222,5004,03 × 10⁻²
1198,3551,36 × 10⁻³
2197,4791,94 × 10⁻⁶
3197,4783,95 × 10⁻¹²
4197,4780

→ 4 itérations pour converger à 10⁻¹⁴ près (résultat identique : \(D_e\) = 197,48 mm, \(d\) = 41,7 mm).

Avec une valeur initiale moins bien choisie, proche du diamètre nu : 5 itérations au lieu de 4.

De,0=1,01⋅Di=115,1 mmD_{e,0} = 1{,}01 \cdot D_i = 115{,}1 \ \text{mm}

5 itérations au lieu de 4.

Avec une valeur initiale mal choisie, hors du domaine physique \(D_e > D_i\) :

De,0=0,02⋅Di=2,28 mmD_{e,0} = 0{,}02 \cdot D_i = 2{,}28 \ \text{mm}

la méthode échoue dès la première itération — le pas de Newton produit une valeur négative (\(D_e\) = −38,0 mm), pour laquelle \(\ln(a \cdot D_e\)) n’est pas défini. Divergence pure, sans convergence possible sans intervention (bornage du domaine, relance avec une autre valeur initiale).

Résolution par dichotomie

Sur le même cas, encadrement initial [\(1{,}0001\cdot D_i \ ; \ 5 \cdot D_i\)], tolérance 10⁻¹⁴ :

→ 42 itérations nécessaires pour la même précision. Robuste (pas de risque de sortie de domaine), mais nettement plus lente à converger.

Synthèse comparative

MéthodeItérations nécessairesRisque de non-convergenceValeur initiale requise
Fonction W de Lambert0 (solution directe)AucunNon
Newton-Raphson (bonne estimation)4Faible si estimation raisonnableOui, sensible
Newton-Raphson (mauvaise estimation)5 à échecRéel — divergence possible hors domaineOui, critique
Dichotomie42Aucun (méthode bornée)Encadrement initial requis
Comparaison itérations fonction W de Lambert vs Newton-Raphson et dichotomie pour calcul isolation
Nombre d’itérations nécessaires selon la méthode, cas de référence DN100 (exigence de température de surface)

Cela confirme que la fonction W de Lambert reste la méthode de référence pour le calcul d’isolation en géométrie cylindrique.

Limites de la méthode

La fonction W de Lambert s’applique aux géométries cylindriques uniquement (tuyauteries) ; elle ne s’applique pas directement aux parois planes, sphériques ou rectangulaires.

Pour une exigence de température de surface (cas traité ici), la solution est intégralement directe. Pour une exigence linéique ou surfacique (voir Épaisseurs sur tuyauteries, équations \(x \cdot \ln(a·x) + b·x ± c = 0\)), la solution reste directe également — la fonction W de Lambert s’applique sans itération dans les trois cas présentés sur cette page, dès lors que \(h_{se}\) est fixé. Une itération complémentaire n’est nécessaire que si l’on affine \(h_{se}\) en fonction de la température de surface résultante (convection + rayonnement dépendants de \(\theta_{se}\) et \(D_e\)), auquel cas chaque itération sur \(h_{se}\) se résout ensuite directement par la fonction W de Lambert — au lieu d’une résolution purement itérative de l’épaisseur elle-même.

Voir aussi

Calculs réalisés avec Python (scipy.special.lambertw) ; script de vérification disponible sur demande. Exemple et notation repris des pages citées ci-dessus.