Présentation
Nous allons utiliser la fonction W de Lambert pour résoudre des équations utilisées dans le calcul d’épaisseurs d’isolation sur des cylindres creux (tuyauteries).
Par définition, la fonction \(\mathrm{W}\) correspond à :
$$z = w \cdot \exp(w) \iff w = \mathrm{W}(z)$$
Si le produit d’une variable \(w\) par l’exponentielle de cette même variable est égale à une constante \(z\), alors, la variable \(w\) sera égale au résultat de la fonction W Lambert pour la valeur \(z\). La réciproque est vrai.
Résolution de \(x \cdot \ln(a \cdot x) + b = 0\)
Démonstration
Cette équation correspond aussi à :
$$x \cdot \ln(a \cdot x) = \ -b$$
Divisons les deux membres par \(x\), à condition que \(x \neq 0\) :
$$\ln(a \cdot x) = \ – \frac{b}{x}$$
On exponente des deux côtés pour enlever le logarithme naturel :
$$\exp(\ln(a \cdot x)) = \exp \left( – \frac{b}{x} \right)$$
Comme \(\exp(\ln(u)) = u\), nous obtenons, en inversant les membres :
$$\exp \left( – \frac{b}{x} \right) = a \cdot x$$
En posant \(y = \ – \frac{b}{x}\), l’équation devient :
$$\exp(y) = \ – \frac{a \cdot b}{y}$$
Multiplions les deux membres par \(y\) :
$$y \cdot \exp(y) = \ – a \cdot b$$
Vu la définition ci-dessus de la fonction \(\mathrm{W}\), nous obtenons :
$$y = \mathrm{W}(- a \cdot b)$$
En reprenant la définition de \(y\) en fonction de \(x\),
$$- \frac{b}{x} = \mathrm{W}(- a \cdot b)$$
Le résultat est :
$$x = \ – \frac{b}{\mathrm{W}(- a \cdot b)}$$
Résolution de \(x \cdot \ln(a \cdot x) \ – \ b = 0\)
En remplaçant \(b\) par \(-b\) dans le résultat du bloc précédent.
Le résultat est :
$$x = \frac{b}{\mathrm{W}(a \cdot b)}$$
C’est cette équation et ce résultat que nous allons utiliser dans les calculs d’épaisseurs d’isolation sur conduites cylindriques.
Résolution de \(x \cdot \ln(a \cdot x) + b \cdot x + c = 0\)
Démonstration
Cette équation correspond aussi à :
$$x \cdot \ln(a \cdot x) = \ – b \cdot x \ – c$$
Divisons les deux membres par \(x\), à condition que \(x \neq 0\) :
$$\ln(a \cdot x) = \ – b \ – \frac{c}{x}$$
On exponente des deux côtés pour enlever le logarithme naturel :
$$\exp(\ln(a \cdot x)) = \exp \left(- b \ – \frac{c}{x} \right)$$
Citons quelques propriétés de la fonction exponentielle :
- $$\exp(ln(u)) = u$$
- $$\exp(u+v) = \exp(u) \cdot \exp(v)$$
- $$\exp(-u) = \frac{1}{\exp(u)}$$
En appliquant ces propriétés et en réorganisant les expressions, nous obtenons :
$$\exp \left(- \frac{c}{x} \right) = a \cdot \exp(b) \cdot x$$
En posant \(y = \ – \frac{c}{x}\), l’équation devient :
$$\exp(y) = \ – a \cdot \exp(b) \cdot \frac{c}{y}$$
Multiplions les deux membres par \(y\) :
$$y \cdot \exp(y) = \ – a \cdot \exp(b) \cdot c$$
Vu la définition ci-dessus de la fonction W, nous obtenons :
$$y = \mathrm{W}(- a \cdot \exp(b) \cdot c)$$
En reprenant la définition de \(y\) en fonction de \(x\) :
$$-\frac{c}{x} = \mathrm{W}(- a \cdot \exp(b) \cdot c)$$
Le résultat est :
$$x = \ – \frac{c}{\mathrm{W}(- a \cdot \exp(b) \cdot c)}$$
Résolution de \(x \cdot \ln(a \cdot x) + b \cdot x \ – c = 0\)
En remplaçant \(c\) par \(-c\) dans le résultat du bloc précédent.
Le résultat est :
$$x = \frac{c}{\mathrm{W}(a \cdot \exp(b) \cdot c)}$$
C’est cette équation et ce résultat que nous allons utiliser dans un des calculs d’épaisseurs d’isolation sur conduites cylindriques.
En résumé
| Équation à résoudre | Résultat |
|---|---|
| $$x \cdot \ln(a \cdot x) + b = 0$$ | $$x = \ – \frac{b}{\mathrm{W}(- a \cdot b)}$$ |
| $$x \cdot \ln(a \cdot x) – b = 0$$ | $$x = \frac{b}{\mathrm{W}(a \cdot b)}$$ |
| $$x \cdot \ln(a \cdot x) + b \cdot x + c = 0$$ | $$x = \ – \frac{c}{\mathrm{W}(- a \cdot \exp(b) \cdot c)}$$ |
| $$x \cdot \ln(a \cdot x) + b \cdot x – c = 0$$ | $$x = \frac{c}{\mathrm{W}(a \cdot \exp(b) \cdot c)}$$ |
Conclusion
La fonction de Lambert W représente un outil mathématique puissant pour résoudre des équations transcendantes qui apparaissent naturellement dans les calculs thermiques, notamment pour la détermination des épaisseurs d’isolation sur conduites cylindriques.
Cette approche présente plusieurs avantages significatifs :
Précision analytique : Contrairement aux méthodes itératives traditionnelles, la fonction W de Lambert fournit une solution analytique exacte, éliminant les erreurs d’approximation et garantissant une convergence systématique.
Efficacité computationnelle : Les différentes formes d’équations présentées couvrent l’ensemble des cas rencontrés dans les applications pratiques du calorifugeage, permettant un calcul direct sans nécessiter de processus itératif coûteux en temps de calcul.
Applications concrètes : Ces résolutions trouvent leur application directe dans :
- Le dimensionnement optimal des épaisseurs d’isolation
- L’optimisation énergétique des installations industrielles
- La validation de calculs thermiques complexes
La maîtrise de ces techniques mathématiques permet aux ingénieurs thermiciens d’améliorer significativement la précision de leurs calculs tout en réduisant les temps de conception.