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Épaisseurs sur parois planes

Exigence sur Température de surface

On a besoin de calculer une épaisseur d’isolation selon une température de surface dans les cas suivants :

  • Pour empêcher les brûlures sur des tuyauteries chaudes, il ne faut pas dépasser une certaine température, de l’ordre de 50 à 65 °C sur des surfaces métalliques.
  • Pour empêcher la condensation sur des tuyauteries froides, il faut que la température de surface soit supérieure à la température de rosée.
Démonstration

La déperdition surfacique sur une paroi plane correspond aux équations suivantes :

qs=θf −θseRs,ins=θse−θaRs,seq_s = \frac{\theta_f \ – \theta_{se}}{R_{s,ins}} = \frac{\theta_{se}- \theta_a}{R_{s,se}}

En prenant les deux derniers membres, et en réorganisant, nous avons :

(θse−θa)⋅Rs,ins −(θf −θse)⋅Rs,se=0(\theta_{se}- \theta_a) \cdot R_{s,ins} \ – (\theta_f \ – \theta_{se}) \cdot R_{s,se} = 0

Comme :

Rs,ins=dλDR_{s,ins} = \frac{d}{\lambda_D}
Rs,se=1hseR_{s,se} = \frac{1}{h_{se}}

Nous obtenons :

(θse−θa)⋅dλD −(θf −θse)⋅1hse=0(\theta_{se}- \theta_a) \cdot \frac{d}{\lambda_D} \ – (\theta_f \ – \theta_{se}) \cdot \frac{1}{h_{se}} = 0

En divisant le tout par \((\theta_{se}- \theta_a)\) et en multipliant par \(\lambda_D)\), nous obtenons :

d −θf −θseθse−θa⋅λDhse=0d \ – \frac{\theta_f \ – \theta_{se}}{\theta_{se}- \theta_a} \cdot \frac{\lambda_D}{h_{se}} = 0
Solution

La solution est :

d=θf −θseθse−θa⋅λDhsed = \frac{\theta_f \ – \theta_{se}}{\theta_{se}- \theta_a} \cdot \frac{\lambda_D}{h_{se}}
Exemple

Soit les données suivantes :

\(\theta_{se} = 55\) °C

\(\theta_f = 300\) °C

\(\theta_a = 20\) °C

\(\lambda_D = 0,057\) W/(m.K)

\(h_{se} = 8\) W/(m².K)

Nous calculons l’épaisseur en utilisant le résultat précédent :

d=300 −5555 −20⋅0,0578d = \frac{300 \ – 55}{55 \ – 20} \cdot \frac{0,057}{8}
d=0,050m=50mmd = 0,050 \; \mathrm{m} = 50 \; \mathrm{mm}

Exigence surfacique

Nous allons déterminer l’épaisseur d’isolation d’une paroi plane pour une exigence surfacique.

Démonstration

Une exigence surfacique peut être transformée en résistance surfacique.

Pour une déperdition surfacique nous avons :

Rs,T=θf −θaqsR_{s,T} = \frac{\theta_f \ – \theta_a}{q_s}

Pour une transmission surfacique nous avons :

Rs,T=1Us,TR_{s,T} = \frac{1}{U_{s,T}}

L’exigence demandée correspond à une résistance surfacique fixée, symbolisée par \(\mathcal{R}_s\).

Nous allons résoudre ce problème en utilisant les résistances surfaciques de l’isolant et de l’échange superficiel. L’équation est :

Rs,T=Rs,ins+Rs,se=ℛR_{s,T} = R_{s,ins} + R_{s,se} = \mathcal{R}

or

Rs,ins=dλDR_{s,ins} = \frac{d}{\lambda_D}
Rs,se=1hseR_{s,se} = \frac{1}{h_{se}}

Nous avons donc l’équation suivante :

Rs,ins=dλDR_{s,ins} = \frac{d}{\lambda_D}
Rs,se=1hseR_{s,se} = \frac{1}{h_{se}}

Nous obtenons :

dλD + 1hse −ℛ=0\frac{d}{\lambda_D} \ + \ \frac{1}{h_{se}} \ – \mathcal{R} = 0

En multipliant le tout par \(\lambda_D)\), nous obtenons :

d + λDhse − λD⋅ℛ=0d \ + \ \frac{\lambda_D}{h_{se}} \ – \ \lambda_D \cdot \mathcal{R} = 0

En réorganisant, nous obtenons :

d + λD⋅(1−hse⋅ℛ)hse=0d \ + \ \frac{\lambda_D \cdot (1 – h_{se} \cdot \mathcal{R})}{h_{se}} = 0
Solution

La solution est :

d=λD⋅(hse⋅ℛ−1)hsed = \frac{\lambda_D \cdot (h_{se} \cdot \mathcal{R} – 1)}{h_{se}}
Exemple

Soit les données suivantes :

\(\theta_a = 20\) °C

\(\theta_f = 400\) °C

\(\lambda_D = 0,075\) W/(m.K)

\(h_{se} = 12\) W/(m².K)

\(\mathcal{R} = 2,5\) m².W/K

Résultat :

En utilisant la solution précédente :

d=0,075⋅(12⋅2,5−1)12d = \frac{0,075 \cdot (12 \cdot 2,5 – 1)}{12}
d=0,181m=181mmd = 0,181 \; \mathrm{m} = 181 \; \mathrm{mm}